Die Eulersche Zahl im Einsatz Die Eulersche Zahl ist die Basis des natürlichen Logarithmus, also ln( e ) = 1. Die Eulersche Zahl kann beschrieben werden durch e = 2,71828., aber ähnlich wie für π gibt es für e keine exakte Lösung. Die Eulersche Zahl wurde nach dem Schweizer Mathematiker und Physiker Leonhard Euler (1707-1783) benannt.

• Warum ist die Zahl e wichtig? Unter anderem beinhaltet die natürlich Exponentialfunktion f(x) = e x die Eulersche Zahl.
• Diese Funktion ist in vielen naturwissenschaftlichen Bereichen von großer Bedeutung.
• Für uns ist aber e vor allem wichtig, weil man anhand von der Eulerschen Formel e jφ =cosφ+jsinφ die komplexen Zahlen in der Exponentialform darstellen kann.

Und diese Darstellung erleichtert die Berechnungen erheblich! Kennst du die schönste Formel der Welt? Die Eulersche Identität e jπ + 1 = 0 wurde von den Mathematikern zur schönsten Formel gewählt, weil sie die 5 wichtigsten Zahlen, also e, j, π, 1 und 0 miteinander verknüpft.
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Wie ist e?

Die eulersche Zahl e mit   e = 2,   718     281     828     459     045     235     360     287   471     352    , ist eine für die Wissenschaft und insbesondere für die Mathematik wichtige Zahl. Sie liegt vielen Wachstums- bzw. Zerfallsprozessen in der Natur zugrunde.

1. Beispiele dafür sind etwa die Vermehrung einer Bakterienkolonie bzw.
2. Der radioaktive Zerfall.
3. Die Zahl e ist „Basis des natürlichen Logarithmus”.
4. Die Bezeichnung mit dem Buchstaben e geht auf LEONHARD EULER (1707 bis 1783) zurück.
5. Unter allen möglichen Basen für Exponentialfunktion en spielt die mit dem Buchstaben e (der eulerschen Zahl) bezeichnete eine besondere Rolle.

Da jeder Taschenrechner eine Funktionstaste für diese Basis enthält, soll diese merkwürdige Zahl kurz erläutert werden: e ist die Zahl, die sich (näherungsweise) ergibt, wenn man die Terme ( 1     +     1 n ) n bzw. ( 1     +     1 n ) n   + 1 für zunehmend größer werdende Werte von n berechnet (man sagt auch: „wenn n gegen unendlich geht”).

Die eulersche Zahl ist wie π eine transzendente Zahl. Auf dem Taschenrechner kann man sich diese Zahl anzeigen lassen, indem man die erste Potenz von e angeben lässt: 1 – Funktionsumschalttaste (F bzw. SHIFT) – Taste ln – Taste 1 – Taste = Eine schnelle Iteration (Näherung) ist durch folgende Summation möglich:   e = 1 + 1 1 + 1 1 ⋅ 2 + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 +,

1. Analog wie es eine Zahl a gibt, um eine positive Zahl z durch 10 a darzustellen, nämlich den dekadischen Logarithmus von a, so gibt es auch eine Zahl b, den natürlichen Logarithmus von b, um z durch e b darzustellen.
2. Diese Exponenten sind ebenfalls tabelliert.
3. Heute kann man sie auf jedem Taschenrechner ablesen.

Für wissenschaftliche Arbeiten bringt es – auch wenn es ein Anfänger in der Mathematik kaum glauben kann – Vorteile, die Basis e statt der Basis 10 zu verwenden. Anmerkung: Wer tiefer in die Mathematik eindringen will, der steuere das Verständnis folgender schon LEONHARD EULER bekannter Beziehung an:   e 2 π −   1 = e 2 π     i = 1
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Was sagt die e-Funktion aus?

Schnittpunkte mit den Achsen – Die e-Funktion hat keine Nullstellen, da eine Potenz niemals Null sein kann. Also gilt stets $f(x)$ = $e$ x ≠ $0$. Ihr Graph nähert sich mit kleiner werdendem $x$ immer mehr der $x$-Achse und es gilt $\lim\limits_ $ $e$ x = $0$. Diese Achse ist also eine gerade Asymptote. Der Graph dieser Funktion schneidet die $y$-Achse an der Stelle 1, da $f(0)$ = $e$ 0 = $1$ ist.
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Wie löst man e auf?

Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die ln-Funktion f – 1 (x) = ln(x). Den ln nennst du auch natürlichen Logarithmus. Den Logarithmus erhältst du aus der exp Funktion, wenn du e hoch x an der grünen Geraden spiegelst.
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Kann eine e-Funktion 0 werden?

Eigenschaften von Exponentialfunktionen Der Graph einer Exponentialfunktion y = b x mit b > 0, b ≠ 1 enthält die Punkte 0 | 1 und 1 | b, Du kannst also den Funktionsterm einer Exponentialfunktion schnell mit Hilfe des Graphen bestimmen. Der Graph enthält die Punkte 0 | 1 und 1 | 3,Funktionsterm : f ( x ) = 3 x Der Definitionsbereich D einer Exponentialfunktion ist ℝ, der kleinstmögliche Wertebereich W ist 0 ; ∞, Exponentialfunktionen haben also keine Nullstelle, Die Funktionswerte nähern sich aber beliebig dicht der Null an. Die x-Achse bzw. die Gerade y = 0 ist die waagerechte Asymptote der Exponentialfunktion. Exponentialfunktionen mit b > 1 sind monoton steigend,Exponentialfunktionen mit 0 < b < 1 sind monoton fallend, Die Graphen der Exponentialfunktionen y = b x und y = 1 b x = b - x sind zueinander symmetrisch bezüglich der y-Achse. f mit f ( x ) = 2 x und g mit g ( x ) = 1 2 x Du kennst die normale Exponentialfunktion mit y = b x, Durch die Verwendung von Parametern kannst du die Gleichung verändern, um z.B. verschiedene exponentielle Wachstumsvorgänge zu beschreiben oder zu modellieren. Allgemein hat die Gleichung dann die Form: y = a · b x Der Parameter a wird auch Streckfaktor genannt, denn die Exponentialkurve der normalen Exponentialfunktion y = b x wird gestreckt a > 1 oder gestaucht 0 < a < 1, Ist a negativ, wird die Kurve zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.Die Graphen der allgemeinen Exponentialfunktionen enthalten die Punkte 0 | a und 1 | b · a, Für a > 0 ist der kleinstmögliche Wertebereich W = 0 ; ∞, für a < 0 ist W = - ∞ ; 0, Die Graphen haben also keine Nullstellen, Die Funktionswerte nähern sich aber beliebig dicht der Null an. Die x-Achse bzw. die Gerade y = 0 ist die waagerechte Asymptote der Exponentialfunktion. f mit f ( x ) = 2 · 3 x g mit g ( x ) = 1 2 · 3 x h mit h ( x ) = -2 · 3 x In der Funktionsgleichung y = a · b x + d bewirkt der Parameter d eine Verschiebung des Funktionsgraphen der allgemeinen Exponentialfunktion y = a · b x in y-Richtung. Für d > 0 erfolgt die Verschiebung nach oben, für d < 0 nach unten. Durch die Verschiebung ändert sich im Fall a > 0 der Wertebereich W zu d ; ∞, Die Asymptote wird verschoben nach y = d, Durch die Verschiebung nach unten kommt eine Nullstelle hinzu. f mit f ( x ) = 2 · 1.5 x + 2 g mit g ( x ) = 2 · 1.5 x h mit h ( x ) = 2 · 1.5 x – 2 In der Funktionsgleichung y = a · b x + c bewirkt der Parameter c eine Verschiebung der Exponentialkurve y = a · b x in x-Richtung. Für c > 0 erfolgt die Verschiebung nach links, für c < 0 nach rechts. Durch die Verschiebung ändert sich der Wertebereich W nicht. f mit f ( x ) = 2 · 1.5 x + 2 g mit g ( x ) = 2 · 1.5 x h mit h ( x ) = 2 · 1.5 x - 2 Funktionen der Form y = a · b x + c sind auch allgemeine Exponentialfunktionen, denn eine Verschiebung in x-Richtung kann auch als Streckung oder Stauchung beschrieben werden. Für y = a · b x mit b > 1 entspricht die Verschiebung um c Einheiten nach links einer Streckung mit dem Faktor b c, denn a · b x + c = a · b x · b c, Die Verschiebung um c Einheiten nach rechts entspricht einer Stauchung mit dem Faktor 1 b c, denn a · b x – c = a · b x · b – c = a · b x · 1 b c, Die Verschiebung der Exponentialkurve y = 2 x um 3 Einheiten nach links entspricht einer Streckung mit dem Faktor 8. y = 2 x + 3 = 8 · 2 x Die Stauchung der Exponentialkurve y = 2 x mit dem Faktor 1 4 entspricht einer Verschiebung um zwei Einheiten nach rechts. y = 1 4 · 2 x = 2 x – 2 : Eigenschaften von Exponentialfunktionen
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Was ist der ln von 0?

Der Logarithmus ist definiert als log a (b): Logarithmus von b zur Basis a mit a, b > 0. Er gibt die Lösung der Gleichung a^x = b, d.h. die Antwort auf die Frage, mit welcher Zahl x man a potenzieren muß, um b zu erhalten. Beispiel: log 2 (8) = 3, da 2^3 = 8. Wenn man b = 0 zuließe, würde die Lösung der Gleichung a^x = 0 gesucht: Mit welcher Zahl x muß man a potenzieren, um Null zu erhalten? Beispiel: 2^x = 0 ? Es gibt keine Zahl x für a > 0. Eine oft genannte Vermutung, daß x = 0 die Gleichung erfüllte, ist falsch, denn a^0 = 1 für alle a > 0. Wenn man a = 0 zuließe, dann wäre die Gleichung 0^x = 0 eingeschlossen. Diese Gleichung wird von unendlich vielen Zahlen erfüllt, z.B.0^1=0 oder 0^5=0 oder 0^100=0 (Ausnahme: 0^0). Daher ist der Logarithmus von Null nicht definiert.
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